שיעור 12: הביטוי 3 בחזקת 2n פחות 1 מתחלק ב־8

פרק 3 – התחלקות

1נוסח השאלה

2הוכחה באינדוקציה

📄 נוסח השאלה

הוכיחו באינדוקציה כי לכל n טבעי הביטוי 3²ⁿ − 1 מתחלק ב־8 ללא שארית.

הוכחה באינדוקציה

מה צריך להראות:

📐 מתחלק ללא שארית

שלב 1 – בסיס האינדוקציה: בדיקה בעבור n = 1

📐 אינדוקציה מתמטית

3² − 1 = 9 − 1 = 8 = 8 · 1 ✓

שלב 2 – הנחת האינדוקציה:

נניח שהטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k טבעי כלשהו:

3^2k − 1 = 8m

כאשר m שלם. מכאן:

3^2k = 8m + 1

📐 מתחלק ללא שארית

הביטוי מתחלק ב־d ללא שארית
אם אפשר לכתוב אותו כ־d · m, כאשר m שלם

📐 אינדוקציה מתמטית

1. בסיס: בדיקה בעבור n = 1
2. הנחה: נכון בעבור n = k
3. צעד: נוכיח בעבור n = k + 1
4. מסקנה: נכון לכל n טבעי

הוכחה באינדוקציה · המשך

3^2k = 8m + 1

שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 1

צריך להוכיח:

הביטוי 3^{2(k + 1)} − 1 מתחלק ב־8.

נפרק את החזקה:

📐 חוקי חזקות

3^{2(k + 1)} = 3^{2k + 2} = 3^2k · 3²

3^{2(k + 1)} − 1 = 9 · 3^2k − 1

נציב את ההנחה:

📐 הנחת האינדוקציה

= 9(8m + 1) − 1

📐 חוקי חזקות

a^m · aⁿ = a^{m + n}

📐 הנחת האינדוקציה

3^2k = 8m + 1

הוכחה באינדוקציה · המשך

= 9(8m + 1) − 1

= 72m + 9 − 1 = 72m + 8

= 8(9m + 1) ✓

9m + 1 שלם, ולכן מתחלק ב־8.

שלב 4 – מסקנה:

הטענה נכונה בעבור n = 1, והוכחנו שאם היא נכונה בעבור n = k אז היא נכונה גם בעבור n = k + 1. לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי.

✅ פתרון סופי: הוכח ✓

📌 ארבעת השלבים של הוכחה באינדוקציה

📐 בסיס והנחה

1. בסיס: בודקים בעבור n = 1
2. הנחה: נכון בעבור n = k

📐 צעד ומסקנה

3. צעד: מוכיחים בעבור n = k + 1
4. מסקנה: נכון לכל n טבעי

💡 בצעד תמיד מפרידים את האיבר האחרון ומציבים את הנחת האינדוקציה.

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא